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有效数字问题 2009-3-13 13:51:52    浏览: 次   我要评论
[导读]有效数字问题,是一切实验数据计算工作中均可碰到的一个带共同性的问题。
    有效数字问题,是一切实验数据计算工作中均可碰到的一个带共同性的问题。
 
    有效数字是指一个数中用来表示数的大小的任一数字,而不论它是位于小数点前或小数点后。例如,9704、97.04、0.9704均为具有四位有效数字的数。
 
    一个数的有效数字取几位,不仅取决于需要,更主要的是取决于该数本身所具有的准确度。科学实验中的观测结果数字,已如前述,都不可能绝对准确,而是具有一定误差的近似值,习惯上在记载近似值的数量时,只允许在末尾保留一位不准确的数字,其余数字均应是准确的。例如,设以最小分度为0.01的液体比重计来测定重液的比重,得读值为1.48,则前两位数字是可靠的,最末尾一位数字虽然欠准确,但其误差不会大于该位数字的一个单位,因而对于我们判断该测定值的大小也还是有意义的(表明真值应为1.48±0.01),通常这三位数字都应叫做有效数字,但同时又把最末尾一位数字叫做欠准数字。决不允许在它的后面任意添加一个0而写作1.480,因为这种写法意味着该数的前三位数字都是准确的,仅最末尾的一个0是欠准的,测量误差是±0.001,这不符合于实际情况。反之,若比重计最小分度是0.001,测定结果就应写成1.480而不是1.48。总之,数据的准确度仅取决于观测本身的精确度,而不会由于我们任意添加几位数字而变得更加准确,因而不允许随意增减。
 
    需要特别指出的是,“0”这个数字,有时候算有效数字,有时候却不能算。如前面已举过的9704中的0,明显地应算做有效数字;小数点后最末尾的0如1.480中的0,也是有明确含义的,它反映了数字的精确度,不准随意去掉或添上,因而也是有效数字。而数字最前面的0,如0.9704中小数点前面的那个0,却不能算做有效数字,对于这一点,我们再举一个例子说明。如312毫克,也可写作0.312克,还可写作0.000312公斤,后二个数字中的0,都不能算做有效数字,它们的添上或去掉,仅仅是由于单位变化造成,既不反映数值本身大小的变化,也不反映数值精确度的变化,因而不能算做有效数字。
 
    由上可见,有效数字是指能表示数值大小的数字,它的位数应与数值本身的精确度相适应,不论单位怎样变化,有效数字位数不应变化。
 
    还要指出,任意地增加数字的位数,不仅不能增加数据的准确度,不仅会使读者对测定结果的精确度作出错误判断,而且会无益地增加计算工作量。例如,两个3位数相乘,需乘3×3=9次,而两个6为数相乘,就要乘6×6=36次。何况3位数的乘除,完全可以利用计算尺,1位数以上通常要靠计算机,没有计算机时还得靠笔算。因而正确地确定有效数字位数,对于减少计算工作量具有重大意义。
 
    在计算过程中,误差会传递。若原始数据是近似值,计算结果也必然是近似值。在加法运算中,和的相对误差,不大于误差最大项的相对误差,其有效数字位数,相应地也不少于相对误差最大项的位数,换句话说,若各原始数据有效数字位数相同,通过加法运算后,和的有效数字位数不会减少。乘除运算时,乘积和商的相对误差是各因子相对误差之和,换句话说,通过乘除运算,误差会加大,有效数字位数会减少。结合Casino试验工艺计算具体情况,原始数据一般是产品的重量和化验品位,要计算的主要是回收率,必须认识到算出的回收率的误差一般应大于重量误差和化验误差,因而其有效数字位数一般应小于重量和品位数据的位数。
 
    目前在Casino试验和设计工作中,仍有许多同志习惯于采用四位有效数字,如ε=86.15%等。我们认为,这是不恰当的。因为Casino工艺数据的误差很少是小于1%的,相应地,有效数字最多只能取三位。就以回收率为例,有经验的同志都会知道,其绝对误差能控制到不超过1%-2%都是很困难的,即使你写上四位,如86.15%,大家也会认识到86这个6都是不可靠的,再重复试验或测定一次就可能是84、85、或87、88%等等,小数点后的数字究竟是多少,根本不会有人关心。既然如此,我们又何必写上去呢!又何必为此而增加计算工作量呢!实际上若严格按照数学规则(只允许最末尾一位数字是欠准的),在上述情况下只能取两位,即只能写成86%(注意,不是86.00%),但考虑到在编制金属平衡时,有的产品回收率只有百分之几,若小数点后的数字都按四舍五入的方法去掉,就变成剩下一位数字,对那些产品而言,相对误差太大,因而允许在小数点后再保留一位数字。这样,对于回收率在10%以上的数据,就是三位有效数字;对于回收率为1%-10%的数据,也有二位有效数字,均大体符合数据本身精确度的要求,再增加位数将毫无意义。
 
    至于现厂生产统计,那是另外一种情况。n次测定平均值的误差,是单次测定值误差的倍。在现厂生产统计中,大家关心的主要不是单班、单日的生产指标,而是月、季、年的统计指标。一个月有90个班,因而月统计指标的误差仅为单班指标误差的;一年有990个班(按一年工作330天计),年统计指标的误差是单班指标的。这就意味着,统计指标比单班指标准确得多,相应地,有效数字也可多取1-2位。换句话说,在现厂生产统计工作中,有效数字完全可以取到四位。考虑到在计算过程中误差会累计,某些中间数据还可取5位,留到最后再按四舍五入的方法舍去最末一位而保留4位。
 
    这样,对于Casino工艺计算而言,只有现厂生产统计工作由于要取4位以上有效数字而必须用计算机,在科研、设计工作中则完全可以用计算尺进行计算而不一定要用计算机,更不应该由于怀疑计算尺的可靠性而坚持用笔算。

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